懐紙（かいし）。
茶席において、客は、懐紙を、出されたお菓子を取るために使ったり、懐石をいただくときに、お椀などの食器を清めるのに使ったりします。
着物の懐に入れる紙だから、懐紙、なんでしょうね。
要するに、今で言う、ティッシュ、です。
でも懐紙は、ティッシュよりも硬さがありますから、お菓子を取るだけならそれだけでお皿の代わりにもなります。
一般公開されているような茶席に参加する時は、懐紙をもっていなくても、お菓子がいただけるように最初から準備されているのが普通です。
ですから、懐紙をもっていないと茶席に参加できないということはないのでご安心を。
ハンカチとティッシュは、普段の持ち物として準備しておく方が良いと思いますが。
あと、装いのマナーは押さえておきましょうね。